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Definição

Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.

Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra

Raiz

Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.

Multiplicidade de raízes

Número de raízes de uma equação

Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.

Exemplo

Um exemplo de como completar quadrado:

Temos a seguinte equação: {\displaystyle (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\,\!}

Agora imagine a equação:

{\displaystyle x^{2}+8x-5=0\,\!}

Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.

{\displaystyle x^{2}+8x=5\,\!}

Perceba que {\displaystyle (x+4)^{2}=x^{2}+8x+16\,\!}

{\displaystyle (x+4)^{2}-16=5\,\!}

{\displaystyle (x+4)^{2}=21\,\!}

Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de

{\displaystyle (x+4)\,\!},

é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.

Casos particulares

Equação do 1º grau com 1 incógnita

Sistemas do 1º grau

Problemas do 1º grau

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo {\displaystyle a=c-4\,\!}. Assim:

{\displaystyle c+a=22\,\!}

{\displaystyle c+(c-4)=22\,\!}

{\displaystyle 2c-4=22\,\!}

{\displaystyle 2c-4+4=22+4\,\!}

{\displaystyle 2c=26\,\!}

{\displaystyle c=13\,\!}

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

Equação do 2º grau com 1 incógnita

Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.

Evolução

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}, donde

{\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)=0}
  • a multiplica os termos:
{\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)=0}
{\displaystyle a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\right)\right]=0}
{\displaystyle a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\right]=0}
{\displaystyle a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\right]=0}
  • aqui {\displaystyle b^{2}-4ac} tornou-se {\displaystyle \Delta }.
{\displaystyle a\left[\left(x+{\frac {b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\right]=0}
  • aqui temos {\displaystyle \left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)} como X1 e {\displaystyle \left({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)} como X2.
{\displaystyle a\left\{x-x_{1}\right\}\left[x-x_{2}\right]=0}
{\displaystyle a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=0}
  • então,
</span>"}],[{"txt":"style"},{"html":"background-color: <span about=\"#mwt29\" typeof=\"mw:Param\" id=\"mwaA\" data-mw='{\"parts\":[{\"templatearg\":{\"target\":{\"wt\":\"bgColor\"},\"params\":{\"1\":{\"wt\":\"transparent\"}},\"i\":0}}]}'>transparent</span>; width: <span about=\"#mwt30\" typeof=\"mw:Param\" id=\"mwaQ\" data-mw='{\"parts\":[{\"templatearg\":{\"target\":{\"wt\":\"width\"},\"params\":{\"1\":{\"wt\":\"100%\"}},\"i\":0}}]}'>100%</span>"}]]}'>
left</span>"}],[{"txt":"valign"},{"html":"<span about=\"#mwt34\" typeof=\"mw:Param\" id=\"mwbg\" data-mw='{\"parts\":[{\"templatearg\":{\"target\":{\"wt\":\"valign\"},\"params\":{\"1\":{\"wt\":\"top\"}},\"i\":0}}]}'>top</span>"}]]}'>
x = x1
{\displaystyle x_{1}=\left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)}
 left</span>"}],[{"txt":"valign"},{"html":"<span about=\"#mwt38\" typeof=\"mw:Param\" id=\"mwdg\" data-mw='{\"parts\":[{\"templatearg\":{\"target\":{\"wt\":\"valign\"},\"params\":{\"1\":{\"wt\":\"top\"}},\"i\":0}}]}'>top</span>"}]]}'>
x = x2
{\displaystyle x_{2}=\left({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)}
  • por fim, {\displaystyle x_{1}} e {\displaystyle x_{2}} (x) é representado pela seguinte fórmula:

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}}

Exercícios

Exercícios de aplicação da Fórmula de Bhaskara.

  1. Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara
    1. {\displaystyle x^{2}-2\ x+1=0(S=1;1)\,}
    2. {\displaystyle y^{2}-6\ y+8=0(S=2;4)\,}
    3. {\displaystyle x^{2}-7\ x-18=0(S=-2;9)\,}
    4. {\displaystyle -y^{2}+2y+3=0(S=-1;3)\,}
    5. {\displaystyle x^{2}-4\ x+5=0(x\notin \mathbb {R} )\,}
    6. {\displaystyle 2\ x^{2}-5\ x+2=0(S=0,5;2)\,}
    7. {\displaystyle 9\ x^{2}+6\ x+1=0(x\notin \mathbb {R} )\,}
    8. {\displaystyle -4\ x^{2}-4\ x-1=0(0,5;0,5)\,}
    9. {\displaystyle x^{2}-x-1=0\,}
    10. {\displaystyle 3y^{2}+2\ y-1=0(S=2/6;-1)\,}
    11. {\displaystyle x^{2}-4=0\,}
    12. {\displaystyle -x^{2}-x-4=0\,}
    13. {\displaystyle x^{2}-17=0\,}
    14. {\displaystyle y^{2}+y-20=0\,}
    15. {\displaystyle x^{2}+626=0\,}
    16. {\displaystyle x^{2}-15x=0\,}
    17. {\displaystyle x^{2}-3\ {\sqrt {2}}\ x+6=0\,}
    18. {\displaystyle -y^{2}-3\ y+10=0\,}
    19. {\displaystyle -3z^{2}+10\ z-3=0\,}
    20. {\displaystyle z^{2}+8\ z+15=0\,}


Exemplo 2 (2+X)(X+1)=2x+2+x.x+x

                  =x.x+3x+2=0
                  a=1
                  b=3
                  c=2

Aplicando na fórmula teremos:

Delta=b.b-4.a.c

Substituindo os valores na fórmula teremos: Delta=3×3-4×1×2 Delta =9-8 Delta=1

X1=-b+√delta/2.a

Substuindo history para x1.:


X1=-3+√1/2×1 X1=-3+1/2 X1=-2/2 X1=-1


X2=-b-√delta/2×a X2=-3-√1/2×1 X2=-3-1/2 X2=-4/2 X2=-2

Equação frigate agradesso quem a very beijinho de Cristiamo

Sistemas do 2º grau

Problemas do 2º grau

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?

Solução
x = número de convidados
24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas
24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas
24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400
simplificando a equação:
dividindo os termos por 400
60/x + 1 = 60/(x-5)
mmc: entre x e x-5 = x.(x-5)
60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x
60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0
x²-5x-300 = 0
aplicando a fórmula de Bhaskara:
x' = 20, x" = -15(raízes negativas não servem)
Resposta: 20 pessoas foram convidadas...

Equação biquadrada

Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar:

{\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0,\quad a\neq 0\,}

A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:

{\displaystyle y=x^{2}\,}

Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:

{\displaystyle ay^{2}+by+c=0,\quad a\neq 0\,}

Exercícios

Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios

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Leitura complementar

  • Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
  • Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616