Shopy 101
← Conjuntos · Números racionais Sign in to download

Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma {\displaystyle a/b\,\!,} onde {\displaystyle b\,\!} é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

{\displaystyle {\frac {29}{8}}:} {\displaystyle 3(={\frac {3}{1}}):} {\displaystyle -{\frac {29}{8}}:} {\displaystyle 3{\frac {5}{8}}:} {\displaystyle 0(={\frac {0}{x}})}

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

{\displaystyle {\begin{matrix}{a \over b}&+&{c \over d}&=&{ad+bc \over bd}\\{a \over b}&\cdot &{c \over d}&=&{ac \over bd}\end{matrix}}}

Exemplo:

{\displaystyle {\frac {1}{4}}} + {\displaystyle {\frac {1}{4}}} = {\displaystyle {\frac {1}{2}}}

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

{\displaystyle \mathbb {Q} }

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como {\displaystyle {\frac {a}{b}},} designa este número {\displaystyle {a}\,\!} dividido em {\displaystyle {b}\,\!} partes iguais. Neste caso, {\displaystyle {a}\,\!} corresponde ao numerador, enquanto {\displaystyle {b}\,\!} corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração {\displaystyle {\frac {56}{8}}} designa o quociente de {\displaystyle 56\,\!} por {\displaystyle 8\,\!.} Ela é igual a {\displaystyle 7\,\!,} pois {\displaystyle 7\,\!} x {\displaystyle 8\,\!} = {\displaystyle 56\,\!.}

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por {\displaystyle \mathbb {Q} .}

{\displaystyle \mathbb {Q} } = {{\displaystyle x\,\!} / {\displaystyle x\,\!} = {\displaystyle {\frac {a}{b}},} com {\displaystyle a\in \mathbb {Z} } e {\displaystyle b\in \mathbb {Z} } {\displaystyle \neq 0}}

Decimais

Decimais exatos

{\displaystyle {\frac {1}{2}}} = {\displaystyle 0,5\,\!}

{\displaystyle {\frac {1}{5}}} = {\displaystyle 0,2\,\!}

Decimais periódicos

{\displaystyle {\frac {5}{3}}} = {\displaystyle 1,66...\,\!} (a)

{\displaystyle {\frac {7}{6}}} = {\displaystyle 1,166...\,\!} (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica

Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

{\displaystyle 0,6666..\,\!\Rightarrow {\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}}

{\displaystyle 1,6666...\,\!=1\,\!+0,6\,\!\Rightarrow 1\,\!+{\frac {6}{9}}={\frac {15}{9}}={\frac {5}{3}}}

Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

{\displaystyle 1,166...\,\!} => {\displaystyle 1\,\!} + {\displaystyle 0,166...\,\!} = {\displaystyle 1\,\!} + {\displaystyle {\frac {15}{9}}} = {\displaystyle {\frac {105}{90}}} = {\displaystyle {\frac {7}{6}}}

Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = {\displaystyle \,\!{\begin{matrix}{\frac {21}{9}}\end{matrix}}}

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = {\displaystyle \,\!{\begin{matrix}{\frac {3804014}{99900}}\end{matrix}}}, que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, {\displaystyle \,\!{\begin{matrix}{\frac {3807821-3807}{99900}}\end{matrix}}}.

Tipos de frações

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: {\displaystyle {\frac {7}{3}}}
  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: {\displaystyle 2{\frac {1}{3}}}
  • aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: {\displaystyle {\frac {12}{4}}}
  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: {\displaystyle {\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}}
  • irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: {\displaystyle {\frac {9}{22}}}
  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: {\displaystyle {{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}}={\frac {3}{5}}}
  • decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: {\displaystyle {\frac {437}{100}}}
  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações: {\displaystyle {\frac {\frac {19}{15}}{\frac {5}{6}}}}
  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k},...)} da seguinte maneira {\displaystyle a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{...}}}}}}}}.} Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações

Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

{\displaystyle {3 \over 5}\times {2 \over 7}={\frac {{3}\times {2}}{{5}\times {7}}}={6 \over 35}}

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

{\displaystyle 3\times {1 \over 4}={3 \over 1}\times {1 \over 4}={3 \over 4}}

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

{\displaystyle {1 \over 3}\times {9 \over 2}={9 \over 6}={\not {9}^{3} \over \not {6}^{2}}={3 \over 2}\,}

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:

{\displaystyle {1 \over 3}\times {9 \over 2}={1 \over \not {3}^{1}}\times {\not {9}^{3} \over 2}={3 \over 2}\,}

Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

{\displaystyle {\frac {3}{5}}} ÷ {\displaystyle {\frac {7}{2}}}

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

{\displaystyle {\frac {3}{5}}\times {\frac {2}{7}}={6 \over 35}}

Que se resolve como mostrado acima.

Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

{\displaystyle {{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}}}

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

{\displaystyle {15 \over {3}}={5}}   ∴   {\displaystyle 5\times {2}={10}:} {\displaystyle {15 \over {5}}={3}}   ∴   {\displaystyle 3\times {3}={9}}

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

{\displaystyle {\frac {10+9}{15}}}

O denominador comum é mantido:

{\displaystyle {\frac {19}{15}}}

Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

{\displaystyle {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={{1}^{2} \over {2}^{2}}={\frac {1}{4}}=0,25}

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

{\displaystyle {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={({0,5})^{2}}=0,25}

Radiciação

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

{\displaystyle 8^{{2} \over {3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}={\sqrt[{3}]{64}}={4}}

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

{\displaystyle {\frac {8}{4}}}

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

{\displaystyle {\frac {8:4}{4:4}}={{2} \over {1}}}

Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

{\displaystyle {\frac {2}{5}}}   ?   {\displaystyle {\frac {3}{7}}}

O MMC entre 5 e 7 é 35.

{\displaystyle {35 \over {5}}={7}}   ∴   {\displaystyle 7\times {2}={14}:} {\displaystyle {35 \over {7}}={5}}   ∴   {\displaystyle 5\times {3}={15}}

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

{\displaystyle {\frac {14}{35}}} < {\displaystyle {\frac {15}{35}}} ∴ {\displaystyle {\frac {2}{5}}} < {\displaystyle {\frac {3}{7}}}

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

{\displaystyle {\frac {14}{35}}={\frac {2}{5}}}   e   {\displaystyle {\frac {15}{35}}={\frac {3}{7}}}

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

{\displaystyle {\frac {7}{3}}}

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

{\displaystyle 2{\frac {1}{3}}}

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Ver também

Wikilivros

Wikipédia